Kelly критерий за футболни залози: формула, частичен Kelly и реални ограничения
Available in US
Защо Kelly е математически перфектен и практически опасен
Преди седем години един колега ми каза: „ако Kelly критерият дава математически оптимален размер на залога, защо професионалните играчи не го следват точно?“ Аз се замислих и след няколко секунди отговорих с друг въпрос: „знаеш ли каква е истинската вероятност на твоя следващ залог?“ Той не знаеше — никой не знае. И в това е цялата сложност на Kelly. Формулата е перфектна, ако знаеш истинската вероятност. Но никой не я знае. Това прави Kelly теоретично оптимален, но практически опасен инструмент.
Kelly критерият е сред най-известните формули в света на залозите и инвестициите. Зад привидната му простота се крие важно предположение, което рядко се обсъжда. Тази статия е за играчи, които искат да го разберат — със силите му и с граничните му условия — и да го използват разумно вместо сляпо.
Формулата на Kelly
Класическата формула е: f = (b·p – q) / b, където f е делът на банкрола, който да заложа, b е чистата печалба на единица залог (коефициент минус 1), p е моята оценка за истинската вероятност на печалба, и q = 1 – p е вероятността за загуба.
Пример с реалистични числа. Коефициент 2,10 (тоест b = 1,10), моя оценка p = 52%, q = 48%. Kelly = (1,10 × 0,52 – 0,48) / 1,10 = (0,572 – 0,48) / 1,10 = 0,092 / 1,10 = 0,0836. Тоест около 8,4% от банкрола.
Това число е „математически оптимално“ в специфичен смисъл: при многократно повтаряне на същата ситуация, заложие на 8,4% от текущия банкрол всеки път максимизира дългосрочния растеж на банкрола. По-малък залог дава по-бавен растеж. По-голям залог дава по-голяма вариация и в крайна сметка по-бавен (или отрицателен) очакван растеж.
Звучи фантастично. И на хартия е. Проблемът започва, когато опитам да въведа моята истинска оценка за p.
Пълен пример с числа
Преди три години правих експеримент за себе си. Симулирах 10 000 серии от 100 залога с различни размери на залога — пълен Kelly, ½ Kelly, ¼ Kelly, и фиксирано 2% от банкрола (флат). Всеки залог имаше реален EV +3%. Започвам с банкрол 1000 лв.
Резултати (средни и медиани):
Пълен Kelly: среден краен банкрол 1820 лв., медиана 1340 лв., 18% от сериите завършиха с банкрол под 500 лв. Висока вариация — около 22% от сериите имаха драматични спадове.
½ Kelly: среден краен банкрол 1480 лв., медиана 1290 лв., 4% под 500 лв. По-нисък максимум, значително по-ниска вариация.
¼ Kelly: среден краен банкрол 1290 лв., медиана 1240 лв., 1% под 500 лв. Бавен растеж, минимална вариация.
Флат 2%: среден краен банкрол 1180 лв., медиана 1150 лв., 0,5% под 500 лв. Най-нисък растеж, минимална вариация.
Какво виждам в тези числа. Пълен Kelly има най-висок среден резултат, но и най-висок риск от драматичен спад. Половината от сериите даже не достигат до средния, а 18% завършват под половината от началния банкрол. Това е психологически тежко — дори ако математически Kelly е оптимален, преживяването му е изтощително.
Затова повечето сериозни играчи използват частичен Kelly — обикновено ½ или ¼ от пълния. По-бавен растеж, но значително по-малък риск от психологически непоносим спад.
Частичен Kelly — компромисът
Защо точно ½ или ¼? Защото те се балансират добре с реалните несигурности в моя живот.
Пълен Kelly предполага, че моята оценка за p е точна. Но в реалност моята оценка винаги има грешка. Може да съм оценил p = 52%, но реалното p да е 50% или 54%. Когато използвам пълен Kelly с прецизна формула, тази грешка в оценката се умножава с агресивния размер на залога и води до драматични резултати в двете посоки.
½ Kelly означава да залагам половината от теоретично оптималния размер. Това е като да приемам, че моята оценка може да греши. Симулациите показват, че ½ Kelly запазва около 75% от теоретичния растеж при половината вариация. Това е изключителна сделка.
¼ Kelly е още по-консервативен — около 50% от теоретичния растеж при четвърт от вариацията. За играчи с по-малка увереност в оценките си, ¼ Kelly е разумен старт. Имам много години в анализа, и все още използвам по-близо до ¼ Kelly при по-несигурни залози.
Има и още един аспект, който често пропускат — психологическият. Дори ако математически ½ Kelly е по-добър от ¼ Kelly при равни условия, ако ½ Kelly води до спадове, които ме карат да губя дисциплина и да правя емоционални залози, ¼ Kelly с по-добра дисциплина дава реално по-добър резултат. Размерът на залога е по-малко важен от стабилността на процеса.
Реалните ограничения на Kelly
Има четири проблема с Kelly, които правят пълното му прилагане практически опасно.
Първо — несигурност на p. Никой не знае точно вероятността за изхода на футболен мач. Дори най-точните модели имат вариация. Kelly наказва тази несигурност експоненциално — малка грешка в p става голяма грешка в препоръчания размер.
Второ — корелации. Kelly за единичен залог е едно. Kelly за множество едновременни залози — друго. Ако заложа Kelly на 5 различни мача и всичките са корелирани (например всички на под 2,5 от един и същи кръг), реалният ми риск е значително по-голям, отколкото сумата от Kelly-та подсказва.
Трето — Kelly може да върне отрицателно число. Ако p < 1/коефициент (тоест моята оценка е под имплицитната пазарна), Kelly препоръчва отрицателен залог — тоест не залагай. Това е важна функция на формулата, която често се игнорира.
Четвърто — Kelly не отчита размера на банкрола. На малък банкрол, дори „оптималният“ Kelly препоръчан размер може да е под минималния залог на букмейкъра. На голям банкрол, Kelly препоръчан размер може да превишава лимита на оператора. Реалните ограничения винаги се прилагат.
Затова в практиката си не следвам Kelly буквално. Гледам го като индикатор — препоръчителна горна граница, която после моделирам надолу спрямо моята увереност и контекста. По-консервативни подходи като фиксирана пропорция често дават по-добри практически резултати, и сравнявам двата метода в флат залагане срещу процент от банкрол.
Често задавани въпроси
Защо пълен Kelly е рисков на практика?
Защото е математически оптимален само ако моята оценка за вероятността е точна. В реалност тя винаги има грешка, и Kelly наказва тази грешка експоненциално. Симулациите показват, че пълен Kelly води до 18% серии с драматичен спад на банкрола, дори при стабилно положителен EV. Психологически непоносим за повечето играчи.
Как се настройва частичен Kelly за начинаещ?
За начинаещ препоръчвам ¼ Kelly или дори по-малко — около 1-2% от банкрола фиксирано. Изчислявам Kelly формулата за всеки залог, и след това използвам ¼ от препоръчания размер. Това дава 50% от теоретичния дългосрочен растеж при значително по-малък риск. С време и увереност в оценките размерът може да расте до ½ Kelly.
Може ли Kelly да върне отрицателен дял?
Да. Ако моята оценка на вероятността е под имплицитната пазарна вероятност (тоест нямам стойност), Kelly формулата дава отрицателно число. Това означава: ‘не залагай’. Това е важна функция на формулата — тя ясно сигнализира, че няма EV в този залог. Много играчи игнорират този сигнал и залагат и без стойност.
Написано от екипа на „Футбол Залози”.
